Sponsorlu Bağlantılar

Evrensel Küme Konu Anlatımı

Evrensel Küme: Bütün kümeleri içinde bulunduran ve üzerinde işlem yapılan kümeye “evrensel küme” denir.
Evrensel Kümenin Gösterilişi: E ile gösterilir.

Ayrıca bkz: Kümeler Konu Anlatımı

Güneş sistemini ele alacak olursak, güneş sistemi aşağıdaki elemanlardan oluşur.

  •  Güneş,
  •  8 gezegen ve bunların uyduları,
  •  Cüce gezegenler ve bunların uyduları,
  •  Güneş sisteminin küçük nesneleri
  •  Gezegenlerarası (gaz ve tozdan oluşmuştur)

Güneş sistemlerinden meydana gelen kümeler de galaksileri oluşturur. Galaksiler ise Evren
adı verilen en büyük kümenin birer parçasıdır. Dolayısı ile Güneş sistemi de evrensel kümedir, Evren de evrensel kümedir.

A kümesi için tek rakamlardan oluşan evrensel küme örnekleri verelim;

Sponsorlu Bağlantılar
  •  Rakamlar kümesi,
  •  0 ile 100 arasındaki doğal sayılar kümesi,
  •  Tek doğal sayılar kümesi,
  •  Tam sayılar kümesi seçilebilir.

ÖRNEK: K = {2, 3, 4, 8} kümesi için bir E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} evrensel kümesi seçip Venn şeması ile gösteriniz.

ÇÖZÜM: Aşağıdaki gibi evrensel kümemizi oluşturabiliriz.

Alt Küme Konu Anlatımı

Alt Küme: A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir, denir.
Alt Küme Gösterilişi: A ⊆ B ile gösterilir.

Bu tanıma göre B kümesi A kümesini kapsamaktadır ve B ⊇ A ile gösterilir.
A kümesinin B kümesinden farklı en az bir tane elemanı varsa A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir denir. Bu ifade A ⊄ B ile gösterilir.

Yukarıdaki tanımı yani alt kümeyi Venn şemasında gösterelim.

Alt Küme Özellikleri

  • Boş küme her kümenin alt kümesidir. Ø ⊆ A dır.
  • Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊆ A dır.
  • A,B ve C kümeleri için A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C dir. Bu özellik Venn şeması ile şekildeki gibi gösterilebilir.

Alt Küme Sayısı

B = {a, b, c} kümesinin elemanlarını kullanarak aşağıdaki 8 tane alt kümeyi oluşturmak mümkündür;

  •  3 elemanlı bir küme {a, b, c},
  •  2 elemanlı kümeler {a, b}, {a, c}, {b, c},
  •  1 elemanlı kümeler {a}, {b}, {c},
  •  0 elemanlı bir küme { }

DİKKAT:
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿ  formülü ile hesaplanır.
n elemanlı bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümelerinin sayısı 2ⁿ – 1 ile hesaplanır.

Boş kümenin alt küme sayısı 2º = 1 dir. Yani kendisidir.

Sponsorlu Bağlantılar

ÖRNEK 1: 3 elemanlı bir A kümesinin alt küme sayısını alt kümelerini yazmadan bulunuz.

ÇÖZÜM:

s(A) = 3 olmak üzere A kümesinin 2³ = 8 tane alt kümesi vardır.

ÖRNEK 2: A = {x | 3x < 81, x ! N } kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile gösterip bu kümenin kendisi hariç alt küme sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:
3 ün doğal sayı kuvvetlerinden 81 den küçük olanlar;
3º = 1,
3¹ = 3,
3² = 9
3³ = 27

Sponsorlu Bağlantılar

olduğundan x yerine 0, 1, 2, 3 yazılabilir.
Bu durumda A = {0, 1, 2, 3} ve s(A) = 4 tür.
Alt küme sayısı 24 = 16 dır.
Kümenin kendisi hariç alt küme sayısı ise 2ⁿ – 1 = 16 – 1 = 15 tir.

ÖRNEK 3: Alt kümelerinin sayısı ile kendisi hariç alt kümelerinin sayısının toplamı 127 olan
bir C kümesinin eleman sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:

s(C) = n olmak üzere C kümesinin alt küme sayısı 2ⁿ ve kendisi hariç alt kümelerinin
sayısı ise 2ⁿ – 1 dir.

2ⁿ + 2ⁿ – 1 = 127
2 . 2ⁿ – 1 = 127
2 . 2ⁿ = 127 + 1
2 . 2ⁿ = 128
2ⁿ = 64 ise n = 6 dır.

Evrensel Küme ve Alt Küme İle İlgili Sorular

Bu konuda öğrendiklerimizi sorularla pekiştirelim. Aşağıdaki sorulara cevap verebiliyorsanız, konuyu anlamışsınız demektir.

1. Evrensel küme nedir? Nasıl gösterilir?
2. Alt küme nedir? Nasıl gösterilir?
3. Alt küme özellikleri nelerdir?
4. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı nasıl bulunur?
5. n elemanlı bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümelerinin sayısı nasıl bulunur?
6. Boş kümenin alt kümesi var mıdır? Varsa kaçtır?

Sponsorlu Bağlantılar

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu girin!
Lütfen adınızı buraya girin