İki Kümenin Kartezyen Çarpımı Nedir? Konu Anlatımı ve Örnekler

Sıralı İkili

Sıralı İkili: Boş küme olmayan A kümesinden bir a elemanı, boş küme olmayan B kümesinden bir b elemanı alınarak elde edilen ve (a, b) şeklinde gösterilen ifadeye “sıralı ikili” denir. Birinci bileşene “a” ve ikinci bileşene “b” adı verilir.

Sıralı ikililerin yazılış sırası önemlidir. Çünkü a ve b birbirinden farklı olduğu için (a,b) ve (b,a) sıralı ikilileri de birbirinden farklı olacaktır.

Sıralı İkili Sistemi Nerelerde Kullanılır?
Sinema salonundaki koltuk numaraları, satrançtaki taşların yerleşimi, bulunduğunuz şehrin konumu, bir apartman dairesinin kat-daire numarası vb. sıralı ikili gösterime birer örnektir.

Sıralı İkililerin Eşitliği

(a, b) ve (c, d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise bu durum aşağıdaki gibi gösterilir;
(a, b) = (c, d) 
a = c ve b = d dir.

Bu durumu basit bir örnek ile açıklamak gerekirse;

ÖRNEK 1: (3x – 3, 2y + 4) = (-12, 20) eşitliğini sağlayan x ve y sayıları kaçtır?

ÇÖZÜM 1: Sıralı ikili eşitliğinden;

3x – 3 = -12  ve 2y + 4 = 20 olur. Bu durumda;

Kartezyen Çarpım Kümesi

Bir A kümesinden birinci bileşeni, bir B kümesinden de ikinci bileşeni alarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir ve AxB ile gösterilir.

AxB kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi
AxB = {(a, b) | a ∈ A ve b ∈ B} dir.

Kartezyen Çarpım Nerelerde Kullanılır?

Kartezyen çarpım ve koordinat sistemi günlük hayatta bir çok alanda kullanılır:

•  Şehir planlamasında,
•  Grafik çizimlerinde,
•  Haritacılıkta,
•  Konum belirleme

gibi bir çok alanda kullanılır.

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

1. A ve B kümesi birbirinden farklı farklı olmak üzere;
AxB ≠ BxA dir.
Kümeler yer değiştirdiğinde farklı sıralı ikililer oluşacağı için kartezyen çarpımları da birbirinden farklı kümeler oluştururlar.

2. AxØ = ØxA = Ø dir. Kartezyen çarpıma boş kümenin ekleyebileceği herhangi
bir elemanı yoktur. Dolayısı ile kartezyen çarpımının sonucunda yine boş küme
bulunur.

ÖRNEK 1:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {k, l, m, n} kümeleri veriliyor.
AxB, BxA, AxA ve BxB kümelerinin eleman sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM 1:
A ve B herhangi iki küme olmak üzere
s(A) = x ve s(B) = y ise
s(AxB) = x . y dir.

s(A) = 5 ve s(B) = 4
s (AxB) = 5.4 = 20
s (BxA) = 4.5 = 20
s (AxA) = 5.5 = 25
s (BxB) = 4.4 = 16 dır.

s(AxB) = s(BxA) olduğuna dikkat ediniz.

ÖRNEK 2:

AxB = {(3, a), (3, b), (3, c), (4, a), (4, b), (4, c)} ve
CxD = {(4, m), (4, n), (4, k), (4, l), (6, m), (6, n), (6, k), (6, l)}

kartezyen çarpım kümeleri veriliyor. AxD kümesinin eleman sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM 2:

AxB yazılımında elde edilen sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinin elemanlarıdır. Böylece A kümesi;
A = {3, 4} ve s(A) = 2 dir.

CxD yazılımında elde edilen sıralı ikililerin ikinci bileşenleri ise D kümesinin elemanlarıdır. Böylece D kümes;
D = {m, n, k, l} ve s(D) = 4 tür.
Bu durumda
s(AxD) = s(A) . s(D) = 2 . 4 = 8 dir.

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı İle İlgili Sorular

Bu konuda öğrendiklerimizi sorularla pekiştirelim. Aşağıdaki sorulara cevap verebiliyorsanız, konuyu anlamışsınız demektir.

1. Sıralı ikili nedir? Sıralı ikili bulma kuralı nedir?
2. Kartezyen çarpım kümesi nedir? Nasıl gösterilir?
3. Kartezyen çarpım özellikleri nelerdir?
4. Kartezyen çarpım günlük hayatta nerelerde kullanılır?
5. İkili sistem günlük hayatta nerelerde kullanılır?