Üçgenin Alanı

Genel anlamda bir üçgenin alanı, üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğinin çarpımının yarısıdır. Yazının devamında farklı üçgenlerde devreye giren özel kurallara göre de üçgenin alan formüllerini göstereceğiz. ABC üçgeninin alanı A(ABC) şeklinde gösterilir.

Sponsorlu Bağlantılar

Örneği aşağıdaki üçgeni dikkate aldığımızda kenar uzunlukları;

|BC| = a br, yükseklik ise ha
|AC| = b br, yükseklik ise hb
|AB| = c br, yükseklik ise hc

Bu durumda alan formülü ise;

A(ABC) = (a.ha)/2 = (b.hb)/2 = (c.hc)/2 olur.

Dik Açılı Üçgenin Alanı

Dik üçgenin alanı dik kenarlar çarpımının yarısıdır.

Aşağıdaki ABCD dikdörtgeninde, A ve C noktalarından bir [AC] köşegeni çizilirse dikdörtgenin alanı ikiye bölünmüş olur.

Bu durumda alan formülü;

A(ABC) = A(ABCD) / 2  = (|AB| . |BC| ) / 2

Dar Açılı Üçgenin Alanı

Dar açılı bir üçgenin bir köşesinden yükseklik indirildiğinde şekildeki gibi iki tane dik üçgenin alanları toplamı ABC üçgeninin alanını verir.

A(ABC) = A(ABH) + A(AHC)
A(ABC) = (|BH|.|AH| / 2) + (|HC|.|AH| / 2)
A(ABC) = (|AH|/2).(|BH|+|HC|)
A(ABC) = (|AH|.|BC|/2)

A(ABC) = a.ha / 2

Geniş Açılı Üçgenin Alanı

Geniş açılı üçgenin diklik merkezi üçgenin dışında olur. Aşağıdaki gibi ABC üçgeninin diklik merkezi üçgenin dışında olur. Bu durumda üçgenin alanı şöyle olur;

A(ABC) = A (AHC) – A(AHB)

A(ABC) = a. ( ha / 2 )

Özel Üçgenlerin Alanı ve Kurallar

Bir üçgende iki farklı köşeye ait yükseklik varsa, her iki yükseklik kullanılarak bulunan
alan değerleri birbirlerine eşittir.

15-75-90 Üçgeninin Alanı

30-30-120 Üçgeninin Alanı ve Formülü

Eşkenar Üçgenin Alanı ve Formülü

Taralı Alan

Yükseklikleri Eşit Olan Üçgenlerin Alanları

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı, yüksekliğin indirildiği tabanların uzunluklarına oranına eşittir. Aşağıdaki şekilde görüleceği üzere ABC, ABD, ADE ve AEC üçgenlerinin yükseklikleri eşittir.

Paralel İki Doğru Arasındaki Üçgenlerin Alanı

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, köşeleri bu doğrular üzerinde olacak şekilde çizilen tüm üçgenlerin yüksekliğidir. Bu durumda şekildeki A noktası (üzerinde tek nokta bulunduran köşe) d1 doğrusu üzerinde nereye taşınırsa taşınsın taban olan [BC] hiç değişmediği ve yükseklik hep aynı kaldığı için oluşan üçgenlerin alanları eşittir.

Bu durumda;

A(ABC) = A(EBC) = A(DBC)

Eşit Kenarlı Üçgenlerin Alanı

Bir üçgende birbiri ile ve taban ile paralel olan ve kestikleri kenarları kendi aralarında eşit uzunluklara bölen doğrular üçgeni orantılı bir şekilde alanlara ayırır.

s ⇒ 3s ⇒ 5s ⇒ 7s

Üçgenin Orta Noktalarına Göre Alanlar

Aşağıdaki üçgende görüldüğü gibi D, E ve F noktaları bulundukları kenarların orta noktaları ise alanların oranı şekilde görüldüğü gibi olur.

Üçgeninin Açıortayına Göre Alanı

Üçgenin bir köşesinde çizilen açıortay, üçgenin açıortay köşesindeki kenarlarının uzunlukları ile orantılıdır.

Kesim Noktasına Göre Üçgenin Alanı

ABC üçgeninin açıortayları ve köşelerinin kesim noktası ile oluşturulan üçgenlerin alanları, ABC üçgeninde ortak olan kenarların uzunluklarıyla doğru orantılıdır.

Üçgenin Ağırlık Merkezine Göre Alanı

Üçgenin ağırlık merkezi üçgeni 6 adet eş alana ayırır.

Ağırlık Merkezine ve Orta Tabana Göre Alanı

Üçgenin orta tabanı ile ağırlık merkezinin oluşturduğu üçgenlerin alanları oranı aşağıdaki gibidir.

Kenar Uzunluklarına Göre Alan

Taban Uzunlukları Eşit Olan Üçgenlerin Alanları

Taban uzunlukları eşit olan üçgenlerin alanları oranı, eşit olan taban uzunluklarına ait yüksekliklerinin oranına eşittir.

Şekilde ABC üçgeni ile DBC üçgeninin ortak tabanları [BC] dır.

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu girin!
Lütfen adınızı buraya girin