Bölünebilme kurallarını sıralamadan önce kısaca bölme işlemini hatırlayalım.
Kısaca Bölme İşlemi
A, B, C, K birer doğal sayı olsun ve B ≠ 0 olmak üzere;
A: Bölünen
B: Bölen
C: Bölüm
K: Kalan
A= B.C + K şeklinde gösterilir.
K=0 yani kalan sıfır ise A sayısı B sayısına kalansız bir şekilde tam bölünür denir. Diğer bir tabirle A sayısı B sayısına bölünebilir denir. Burada 0 ≤ K < B olmalıdır. Yani K sayısı B sayısından büyük olamaz.
Bölünebilme Kuralları
Bölünebilme: Bir sayının başka bir sayıya kalansız bir şekilde yani kalan “0” olacak şekilde bölünmesine bölünebilme denir.
Genel Kural: Bir sayıya birden fazla bölünebilme kuralı uygulanacağı zaman, ilk önce birler basamağı ile ilgili kurala, sonra son iki basamakla ilgili kurala, sonra son üç basamakla ilgili kurala daha sonra da tüm basamaklarla ilgili kurala bakılır.
Bölünebilmenin 9 adet özel kuralı vardır. Bu özel bölünebilme kuralları aşağıdaki gibidir;
- 2 ile Bölünebilme
- 3 ile Bölünebilme
- 4 ile Bölünebilme
- 5 ile Bölünebilme
- 8 ile Bölünebilme
- 9 ile Bölünebilme
- 10 ile Bölünebilme
- 11 ile Bölünebilme
- Aralarında Asal Çarpanlarının Çarpımının Oluşturduğu Sayıya Bölünebilme
Şimdi bu bölünebilme kurallarını tek tek açıklayalım ve örnek sorular çözerek iyice anlayalım.
2 ile Bölünebilme Kuralı
Bir sayının 2 ile tam bölünmesi için birler basamağının çift olması gerekir. Sayının birler basamağı tek sayı ise sayının 2 ye bölümünden kalan 1 olur.
Örnek:
1686 sayısının birler basamağında yer alan sayı 6 rakamıdır ve bu rakam çift olduğundan dolayı 2 ile bölümünden kalan 0 dır.
527 sayısının birler basamağında yer alan sayı 7 rakamıdır ve bu rakam tek olduğu için 2 ile bölümünden kalan 1 dır.
3 ile Bölünebilme Kuralı
Herhangi bir doğal sayının rakamları toplamı 3 veya 3’ün katı ise bu sayı 3 ile tam bölünür.
Örnek:
357 sayısının rakamları toplamı;
3+5+7=18’dir. 18 rakamının 3 ile bölümünden kalan kalan 0’dır. Dolayısı ile 357 sayısı 3 ile tam bölünür.
4356 sayısının rakamları toplamı;
9+3+5+6=23’tür. 23 rakamını direk 3′ bölebileceğimiz gibi rakamlarını da toplayabiliriz.
2+3=5’tir. 5 rakamının 3 ile bölümünden kalan 2’dir. Dolayısı ile 4356 sayısı 3 ile tam bölünmez.
4 ile Bölünebilme Kuralı
Herhangi bir doğal sayının son iki basamağı 4’e tam bölünüyorsa yada 4’ün katı ise bu sayı 4 ile tam bölünür.
Örnek:
69587320 sayısının son iki basamağı 20 sayısıdır. 20 sayısının 4’e bölümünden kalan 0 olduğu için 4 ile tam bölünür.
256454 sayısının son iki basamağı 54 sayısıdır. 54 sayısının 4’e bölümünden kalan 2 olduğu için 4 ile tam bölünmez.
56300 sayısının son iki basamağı 00’dır. Dolayısı ile 4 ile tam bölünür.
5 ile Bölünebilme Kuralı
Herhangi bir doğal sayının birler basamağı 0 yada 5 ise 5 ile tam bölünür.
Örnek:
14520 sayısının birler basamağı 0 olduğu için 5’e tam bölünür.
86955145 sayısının birler basamağı 5 olduğu için 5’e tam bölünür.
569873 sayısının birler basamağı 3 olduğundan 5’e tam bölünmez ve kalan 2’dir.
8 ile Bölünebilme Kuralı
Herhangi bir sayının son üç basamağındaki sayı 8′ bölünüyorsa yani 8’in katı ise, 8 ile
tam bölünür.
Örnek:
356480 sayısının son üç basamağı 480 sayısıdır. 480 sayısının 8’e bölümünden kalan 0 olduğu için 8 ile tam bölünür.
9856125 sayısının son üç basamağı 125 sayısıdır. 125 sayısının 8’e bölümünden kalan 5 olduğu için 8 ile tam bölünmez.
9 ile Bölünebilme Kuralı
Herhangi bir sayının rakamları toplamı 9’a tam bölünüyorsa yani 9’un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.
Örnek:
58641023 sayısının rakamları toplamı;
5+8+6+4+1+0+2+1=27 olduğundan bu sayının 9’a bölümünden kalan 0’dır.
35426 sayısının rakamları toplamı;
3+5+4+2+6=20 olduğundan bu sayının 9’a bölümünden kalan 2’dir.
10 ile Bölünebilme Kuralı
Herhangi bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 ise bu sayı 10’a tam bölünür. Yine birler basamağındaki rakam aynı zamanda sayının 10’a bölümünden kalana eşittir.
Örnek:
485000 sayısının birler basamağındaki rakam 0 olduğu için 10’a tam bölünür ve kalan 0’dır.
3654 sayısının birler basamağındaki rakam 4 olduğu için 10’a tam bölünmez ve kalan 4’tür.
11 ile Bölünebilme Kuralı
Herhangi bir sayının rakamları sağdan sola doğru +, -, +, -, … ile işaretlendirilerek toplanır. Bu toplam 11’e bölünür ve kalan 0 ise tam bölünür. Toplamın sonucu – (eksi) çıkarsa sayıya 11 eklenerek toplanır ve kalan bulunmuş olur.
Örnek:
316283 sayısının rakamlarını kurala göre toplayalım;
+3-1+6-2+8-3=11 olduğundan tam bölünür ve kalan 0’dır.
2569178 sayısının rakamlarını kurala göre toplayalım;
+9-5+6-9+1-7+8 = 3 olduğundan 11’e bölümünden kalan 3’tir.
352614 sayısının rakamlarını kurala göre toplayalım;
+3-5+2-6+1-4=-9 olduğundan +11 eklenerek -9+11=+2 olur. Kalan 2 olur.
Aralarında Asal Çarpanlarının Çarpımının Oluşturduğu Sayıya Bölünebilme
Aralarında asal çarpanların her birine bölünebilen bir doğal sayı, bu sayıların çarpımına
da tam bölünür.
NOT: 1 den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayma sayılarına aralarında asal sayılar denir.
Örnek:
6 = 2 . 3 (2 ile 3 aralarında asaldır.)
2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile tam bölünür.
12 = 3 . 4 (3 ile 4 aralarında asaldır.)
3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile tam bölünür.
18 = 2 . 9 (2 ile 9 aralarında asaldır.)
2 ve 9 ile tam bölünen sayılar 18 ile tam bölünür.
30 = 3 . 10 (3 ile 10 aralarında asaldır.)
3 ve 10 ile tam bölünen sayılar 30 ile tam bölünür.
Bölünebilme Kuralı Soruları ve Çözümleri
SORU:
Rakamları farklı beş basamaklı 4x89y sayısı; 2 ile tam bölündüğüne göre x + y toplamının alacağı en büyük değeri bulunuz.
ÇÖZÜM:
y sayısı çift olması gerektiğinden alabileceği en büyük değer 8 dir.
Fakat 4x89y sayısının rakamları farklı verildiğinden y nin alabileceği en büyük değer 6 olur.
x in alabileceği en büyük değer ise 7 olup x + y nin en büyük değeri 6 + 7 = 13 tür.
SORU:
Rakamları farklı dört basamaklı 4m67 doğal sayısı, 3 ile bölünebildiğine göre m nin alabileceği değerleri bulunuz.
ÇÖZÜM:
4 + m + 6 + 7 = 17 + m olup bu toplamın 3 ün katı olması gerekir. Buradan m sayısı 1, 4 ve 7 olabilir. Verilen sayının rakamları farklı olduğundan m sayısı yalnızca 1 dir.
SORU:
Rakamları farklı dört basamaklı 75×6 doğal sayısının 4 ile bölünebilmesi için x in
kaç farklı değer alabileceğini bulunuz.
ÇÖZÜM:
75×6 doğal sayının son iki basamağı olan x6 sayısının 4 e bölünebilmesi için x in alabileceği değerler 1, 3, 5, 7 ve 9 dur. Fakat verilen sayının rakamları farklı olduğundan 5 ve 7 olamaz. Dolayısıyla x sayısı 3 farklı değer alır.
SORU:
Dört basamaklı 7A8B sayısı hem 3 e hem de 5 e bölünebildiğine göre A sayısının alabileceği değerler toplamını bulunuz.
ÇÖZÜM:
7A8B sayısı 5 ile bölündüğü için B sayısı 0 veya 5 olabilir.
B = 0 için verilen sayı 7A80 olur ve 7 + A + 8 + 0 = 15 + A dır. Sayının 3 e bölünebilmesi için A nın alabileği değerler 0 , 3 , 6 ve 9 dur.
B = 5 için verilen sayı 7A85 olur ve 7 + A + 8 + 5 = 20 + A dır. Sayının 3 e bölünebilmesi için A nın alacağı değerler 1 , 4 ve 7 dir.
A nın alacağı değerler toplamı da 0 + 3 + 6 + 9 + 1 + 4 + 7 = 30 dur.
SORU:
Rakamları birbirinden farklı altı basamaklı 3458y6 doğal sayısı, 8 ile bölünebildiğine göre y sayısının alabileceği değerler toplamını bulunuz.
ÇÖZÜM:
3458y6 sayının 8 e tam bölünmesi için 8y6 sayısının 8 e tam bölünmesi gerekir.
8y6 sayısını çözümlenirse 8y6 = 800 + 10 . y + 6 olur.
800 sayısının 8 ile bölümünden kalan 0 olacağından 10 ∙ y +6 sayısının 8 e bölünebilmesi için y sayısı 1, 5 veya 9 değerlerini alabilir.
3458y6 sayısı rakamları farklı olarak verildiğinden y sayısı 1 veya 9 olup alabileceği değerler toplamı da 1 + 9 = 10 dur.
SORU:
21 basamaklı 571571571…571 doğal sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulunuz.
ÇÖZÜM:
5 + 7 + 1 = 13 olup verilen sayının içinde 21 ÷ 3 = 7 kez 571 sayısı tekrar etmektedir.
Dolayısıyla sayının rakamları toplamı, 13 . 7 = 91 olur. 91 sayısının da rakamları toplanırsa 9 + 1 = 10 ve yine 10 sayısının rakamları toplamı 1 + 0 = 1 olur. Böylece verilen sayının 9 a bölümünden kalan 1 dir.
SORU:
Beş basamaklı 41m2n sayısı, 10’a bölündüğünde 6 kalanını veren ve 3 ile bölünebilen bir doğal sayıdır. Buna göre m + n toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz.
ÇÖZÜM:
Verilen sayının 10 a bölümünden kalan 6 olduğundan n sayısı 6 dır. Böylece sayı 41m26 olur. Bu sayının 3 e bölünebilmesi için 4 + 1 + m + 2 + 6 = 13 + m toplamı 3 ün katı olmalıdır.
Buradan m nin alacağı değerler 2 , 5 ve 8 olup m + n nin en büyük değeri n=6 ve m=8 için 6 + 8 = 14 tür.
SORU:
Beş basamaklı 63A27 sayısı 11 ile bölündüğüne göre A sayısını bulunuz.
ÇÖZÜM:
Sayıyı sağdan sola doğru işaretlenip toplanırsa;
+ 6 – 3 + A – 2 + 7 = 8 + A olur.
Bu durumda 8 + A ifadesini elde edilir. Bu ifadenin 11’e bölünmesi için A rakamının 3 olması gerekir.
SORU:
1296 sayısının 6 ya tam bölünür mü?
ÇÖZÜM:
6 sayısını 2 . 3 şeklinde aralarında asal çarpanlara ayırıp 6 sayısının 2 ve 3 ile bölümünden kalanlarına bakılır.
1296 sayısındaki birler basamağı (6) çift olduğundan sayı 2 ile tam bölünür.
1296 sayısının rakamlarının toplamı 1 + 2 + 9 + 6 = 18 olduğundan sayı 3’ün katıdır
ve 3 ile tam bölünür.
Böylece 1296 sayısı, 2 ve 3 ile bölündüğünden 6 ile de bölünür.
Bölünebilme Kuralları İle İlgili Sorular
Bu konuda öğrendiklerimizi sorularla pekiştirelim. Aşağıdaki sorulara cevap verebiliyorsanız, konuyu anlamışsınız demektir.
1. Bir sayıda birden fazla bölünebilme kuralı uygulanırken hangi sıralama takip edilir.?
2. İki ile bölünebilme kuralı nedir?
3. Üç ile bölünebilme kuralı nedir?
4. Dört ile bölünebilme kuralı nedir?
5. Beş ile bölünebilme kuralı nedir?
6. Altı ile bölünebilme kuralı nedir?
7. Sekiz ile bölünebilme kuralı nedir?
8. Dokuz ile bölünebilme kuralı nedir?
9. Onbir ile bölünebilme kuralı nedir?
10. Asal sayılarda bölünebilme kuralı nedir?