Doğal Sayılar Kümesi
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …} kümesine doğal sayılar kümesi denir.
Doğal sayılar kümesi “N” simgesi ile gösterilir.
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, …} kümesinde yer alan her bir elemana doğal sayı denir.
Tam Sayılar Kümesi
{…-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} kümesine tam sayılar kümesi denir.
Tam sayılar kümesi “ Z ” simgesi ile gösterilir.
Z = {…-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} kümesinde yer alan her bir elemana tam sayı denir.
Negatif Tam Sayılar Kümesi: Tam sayılar kümesinin negatif elemanlarından oluşan kümeye negatif tam sayılar kümesi denir ve “ Z– ” simgesi ile gösterilir.
Z– = {…-5, -4, -3, -2, -1 } dir.
Pozitif Tam Sayılar Kümesi: Tam sayılar kümesinin pozitif elemanlarından oluşan kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir ve “ Z+ ” simgesi ile gösterilir.
Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, …} dir.
Z = Z+ ∪ Z– ∪ {0} olarak ifade edilir.
Buna göre her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır ve N ⊂ Z dir.
Rasyonel Sayılar Kümesi
a ve b tam sayılar ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklinde yazılabilen sayılara
rasyonel sayılar denir.
Rasyonel sayılar kümesi “ Q ” simgesi ile gösterilir.
yukarıdaki kümenin elemanlarına rasyonel sayı denir.
Negatif Rasyonel Sayılar Kümesi: Rasyonel sayılar kümesinin negatif elemanlarından oluşan kümeye negatif rasyonel sayılar kümesi denir ve “Q– ”simgesi ile gösterilir.
Pozitif Rasyonel Sayılar Kümesi: Rasyonel sayılar kümesinin pozitif elemanlarından oluşan kümeye pozitif rasyonel sayılar kümesi denir ve “Q+ ” simgesi ile gösterilir
Aşağıda rasyonel sayılara örnekleri görebilirsiniz.
(4 / 5) , (15 / 18) , (0,3) , (-7)
Dolayısı ile her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır ve Z ⊂ Q şeklindedir.
İrrasyonel Sayılar Kümesi
a ve b tam sayılar ve b sıfırdan farklı olmak üzere, (a/b) şeklinde yazılamayan sayılara
irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel sayılar kümesi “ Q’ ” simgesi ile gösterilir.
NOT: Kök dışına tam olarak çıkamayan sayılar, virgülden sonraki kısmı tam olarak bilinmeyen sayılar ve iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılar irrasyonel sayılardır.
İrrasyonel sayılara örnek vermek gerekirse;
π , √3 , -√5 , √2/7
Q + Q’ = ∅ olur.
Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi ile oluşan kümeye
gerçek (reel) sayılar kümesi denir.
Reel sayılar kümesi “ R ” simgesi ile gösterilir.
R = Q ∪ Q’ kümesinin elemanlarına gerçek (reel) sayı denir.
Pozitif gerçek sayılar “ R+ ”, negatif gerçek sayılar ise “ R– ” simgesi ile gösterilir.
R = R+ ∪ R– ∪ {0} dir.
Ayrıca bkz: Kümeler Konu Anlatımı
Örnek Sorular ve Çözümleri
ÖRNEK 1
a, b, c birer pozitif tam sayı olmak üzere
a . b = 12
b . c = 20
ise a + b + c toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz.
ÇÖZÜM:
b çarpanı her iki ifadede ortaktır.
b = 1 için a = 12 ve c = 20 dir. Toplamın en büyük değeri 1 + 12 + 20 = 33 tür.
b = 4 için a = 3 ve c = 5 tir. Toplamın en küçük değeri ise 4 + 3 + 5 = 12 dir.
ÖRNEK 2
x ve y birer tam sayı olmak üzere x . y = 35 ise x + y ifadesinin alabileceği en büyük
ve en küçük değerleri bulunuz.
ÇÖZÜM:
Verilen değişkenler birer tam sayı ve çarpımları bir pozitif tam sayı olduğundan
toplamlarının en büyük değerini bulmak için birbirine en uzak iki pozitif değer seçilir.
Böylece değişkenlerden biri 35 diğeri 1 olarak alınırsa toplamları en çok
35 + 1 = 36 dır.
Toplamlarının en küçük değerini bulmak için birbirine en uzak iki negatif değer
seçilir. Böylece değişkenlerden biri -35 diğeri -1 olarak alınırsa toplamları en az
(-35) + (-1) = -36 dır.
ÖRNEK 3
x ve y birer doğal sayı olmak üzere x + y = 12 ise x . y ifadesinin alabileceği en büyük
ve en küçük değerleri bulunuz.
ÇÖZÜM:
Toplamları verilen iki doğal sayının çarpımlarının en büyük olabilmesi için, bu sayıların
birbirine en yakın değerleri seçilir. Dolayısıyla değişkenlerin her ikisi de 6
olarak alınırsa x . y ifadesinin en büyük değeri 6 . 6 = 36 dır.
Toplamları verilen iki doğal sayının çarpımlarının en küçük olabilmesi için, bu sayıların
birbirine en uzak değerleri seçilir. Dolayısıyla değişkenlerden birini 0 diğerini
12 seçerek x . y ifadesinin en küçük değeri 0 . 12 = 0 dır.