EBOB ve EKOK Nedir? EBOB EKOK Bulma ve Çözümlü Sorular

EBOB Nedir?

En Büyük Ortak Bölen (EBOB): Kısaca iki yada daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinden en büyüğüne EBOB yada en büyük ortak bölen a,b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) şeklinde gösterilir.

Örnek:
15 ve 30 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?

Çözüm:
15 sayısının bölenleri: 15, 5, 3, 1
30 sayısının bölenleri: 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1

Her iki sayı için ortak olan bölenler: 15, 5, 3, 1
Dolayısı ile bu bölenler içerisindeki en büyük sayı en büyük ortak bölendir.
En Büyük Ortak Bölen (EBOB): 15

EKOK Nedir?

En Küçük Ortak Kat (EKOK): İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı yani “EKOK” denir. a,b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a,b) şeklinde gösterilir.

Örnek:
4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katı kaçtır?

Çözüm:
4 sayısının katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36…
6 saysının katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…

Bu iki sayının ortak katları: 12, 24, 36…
En küçük ortak kat (EKOK): 12

EBOB ve EKOK Bulma Yöntemleri

1) a ve b sayılarının EBOB u ile EKOK unun çarpımı a ve b sayılarının çarpımına eşittir.
Bu özellik şöyle ifade edilir.

a ∙ b = EBOB (a, b) ∙ EKOK (a, b)

2) a ve b aralarında asal iki pozitif tam sayı olmak üzere, EBOB ve EKOK şöyledir;

•  EBOB (a, b) = 1
•  EKOK (a, b) = a ∙ b

Örneğin, 2 ve 5 asal sayıları;
EBOB (2,5) = 1,
EKOK (2,5) = 2 ∙ 5= 10 dur.

3) a ve b pozitif tam sayılarından biri diğerinin tam katı ise bu sayılardan küçük olan EBOB, büyük olan ise EKOK dur. b>a olmak üzere;

EBOB(a,b)= a
EKOK(a,b)= b

Örneğin 3 ile 9 sayıları;
EBOB(3,9)= 3
EKOK(3,9)= 9

EBOB EKOK Soruları ve Çözümleri

SORU:
A = 2³ . 3² . 5⁴ ve B = 2² . 3² . 5³ . 7 şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış A ve B sayılarının EBOB ve EKOK unu bulunuz.

ÇÖZÜM:
A = 2³ . 3² . 5⁴
B = 2² . 3² . 5³ . 7

Ortak olan asal çarpanlardan, üsleri en küçük olanlar ile üsleri eşit olanların çarpımı bu sayıların EBOB udur. Buradan,

EBOB(A, B) = 2² . 3² . 5³ tür.

A ve B yi oluşturan asal çarpanlardan üssü büyük veya eşit olan diğerinin tam katı
olacağından

EKOK(A, B) = 2³ . 3² . 5⁴ . 7 dir.

SORU:
40, 60 ve 90 sayılarının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulunuz.

ÇÖZÜM:
40, 60 ve 90 sayılarını asal çarpanlarına ayrılırsa
40 = 2³ . 5
60 = 2² . 3 . 5
90 = 2 . 3² . 5 tir.

Buradan;
EBOB (40, 60, 90) = 2 . 5 = 10
EKOK (40, 60, 90) = 23 . 32 . 5 = 360 tır.

SORU:
a, b, c, d asal sayılar olmak üzere K = a⁴ . b³ . c . d² ve L = a⁷ . b⁵ . c⁴ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış K ve L sayılarının EKOK’unun EBOB’ una oranını bulunuz.

ÇÖZÜM:

K = a⁴ . b³ . c . d²
L = a⁷ . b⁵ . c⁴

Ortak olan asal çarpanlardan, üsleri en küçük olanlar ile üsleri eşit olanların çarpımı bu sayıların EBOB udur. Buradan,

EBOB(K, L) = a⁴ . b³ . c

Asal çarpanlardan üssü büyük veya eşit olan diğerinin tam katı olacağından;

EKOK(A, B) = a⁷ . b⁵ . c⁴ . d² dir.

EKOK(A, B) ÷ EBOB(K, L)
a⁷ . b⁵ . c⁴ . d² ÷ a⁴ . b³ . c = a³ . b² . c³ . d²

SORU:
x bir pozitif tam sayı olmak üzere
EBOB (x, 20) = 4 ve EKOK (x, 20) = 40 ise x sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:
EBOB ve EKOK değerlerinin çarpımı sayıların çarpımına eşit olduğundan

x . 20 = 4 . 40
20 . x = 160
Böylece x = 8 dir.

SORU:
m ve n birbirinden farklı pozitif tam sayıları için
EBOB (m, n) = 45 ise m + n toplamının en küçük değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:
EBOB (m, n) = 45 olduğundan m ve n sayıları 45 in tam katları olmalıdır.

Sayılar birbirinden farklı olduğu için en az 45 ve 90 sayıları seçilir.
Böylece m + n toplamı en az 45 + 90 = 135 tir.

EBOB ve EKOK İle İlgili Sorular

Bu konuda öğrendiklerimizi sorularla pekiştirelim. Aşağıdaki sorulara cevap verebiliyorsanız, konuyu anlamışsınız demektir.

1. EBOB nedir?
2. EKOK nedir?
3. EBOB ve EKOK bulma yöntemleri nelerdir?