Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri

Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri

Gerek sayılar kümesinde toplama işlemi yapılırken 5 kuraldan ya da özellikten bahsedebiliriz. Bunlar şöyledir;

1. Kapalılık Özelliği
2. Değişme Özelliği
3. Birleşme Özelliği
4. Etkisiz Eleman Özelliği
5. Ters Eleman Özelliği

Şimdi bütün bu özellikleri tek tek açıklayalım.

Kapalılık Özelliği

Her a, b ∈ R için a + b ∈ R dir. Bu özelliğe toplama işleminin kapalılık özelliği denir.
2 ve 6 gerçek sayılardır ve bu iki sayının toplamının sonucu 2 + 6 = 8 de bir gerçek sayıdır.

Değişme Özelliği

Her a, b ∈ R için a + b = b + a dir. Bu özelliğe toplama işleminin değişme özelliği denir.
Örnek:
2 + 6 = 6 + 2
8 = 8 dir.

Birleşme Özelliği

Her a, b, c ∈ R için a . (b . c) = (a . b) . c dir. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.
Örnek:
2 . (6 . 9) = (2 . 6) . 9
2 . 54 = 12 . 9
108 = 108 dir.

Etkisiz Eleman Özelliği

Her a ∈ R için a + 0 = 0 + a = a olduğundan “0” toplama işleminin etkisiz (birim) elemanıdır.
Örnek:
6 + 0 = 0 + 6 = 6 tür.

Ters Eleman Özelliği

Her a ∈ R için a + (-a) = (-a) + a = 0 olduğundan a nın toplama işlemine göre tersi –a dır.
Örnek:
6 + (-6) = (-6) + 6 = 0 dır.

Ayrıca bkz: Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, Reel Sayılar

Gerçek Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri

Gerek sayılar kümesinde çarpma işlemi yapılırken 7 kuraldan ya da özellikten bahsedebiliriz. Bu 7 özellik şunlardır;

1. Kapalılık Özelliği
2. Değişme Özelliği
3. Birleşme Özelliği
4. Etkisiz Eleman Özelliği
5. Ters Eleman Özelliği
6. Yutan Eleman Özelliği
7. Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği

Kapalılık Özelliği

Her a, b ∈ R için a . b ∈ R dir. Bu özelliğe çarpma işleminin kapalılık özelliği denir.
2 ve 6 gerçek sayılardır ve bu iki sayının çarpımının sonucu 2 . 6 = 12 de bir gerçek sayıdır.

Değişme Özelliği

Her a, b ∈ R için a . b = b . a dir. Bu özelliğe çarpma işleminin değişme özelliği denir.
Örnek:
2 . 6 = 6 . 2
12 = 12 dir.

Birleşme Özelliği

Her a, b, c ∈ R için a . (b . c) = (a . b) . c dir. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.
Örnek:
2 . (6 . 9) = (2 . 6) . 9
2 . 54 = 12 . 9
108 = 108 dir.

Etkisiz Eleman Özelliği

Her a ∈ R için a . 1 = 1 . a = a olduğundan “1” sayısı çapma işleminin etkisiz (birim) elemanıdır.
Örnek:
6 . 1 = 1 . 6 = 6 dır.

Ters Eleman Özelliği

Her a ∈ R ve a ≠ 0 için a . 1/a = 1/a . a = 1 olduğundan a nın çapma işlemine göre tersi 1/a dır.
Örnek:
6 . 1/6 = 1/6 . 6 = 1 dir.
0 sayısının çarpma işlemine göre tersi yoktur.

Yutan Eleman Özelliği

Her a ∈ R için a ∙ 0 = 0 ∙ a = 0 olduğundan çarpma işleminin yutan elemanı “0” dır.
Örnek:
6 ∙ 0 = 0 ∙ 6 = 0 dır.
Yutan elemanın tersinin yoktur.

Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği

Her a, b, c ∈ R için a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c ve (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c olur. Bu özelliğe çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği denir.
Örnek:

3 ∙ (4 + 5) = 3 ∙ 4 + 3 ∙ 5
3 ∙ 9 = 12 + 15
27 = 27 dir.

(3 + 4) ∙ 5 = 3 ∙ 5 + 4 ∙ 5
7 ∙ 5 = 15 + 20
35 = 35 tir.

Gerçek sayılar kümesinin elemanlarıyla gösterilen her sıralı ikili, Kartezyen koordinat sisteminde bir noktaya karşılık gelir. Koordinat sistemi birbirine dik iki gerçek sayı doğrusunun sıfır noktasında kesişmesi ile elde edilmiştir.