Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri
Gerek sayılar kümesinde toplama işlemi yapılırken 5 kuraldan ya da özellikten bahsedebiliriz. Bunlar şöyledir;
- Kapalılık Özelliği
- Değişme Özelliği
- Birleşme Özelliği
- Etkisiz Eleman Özelliği
- Ters Eleman Özelliği
Şimdi bütün bu özellikleri tek tek açıklayalım.
Kapalılık Özelliği
Her a, b ∈ R için a + b ∈ R dir. Bu özelliğe toplama işleminin kapalılık özelliği denir.
2 ve 6 gerçek sayılardır ve bu iki sayının toplamının sonucu 2 + 6 = 8 de bir gerçek sayıdır.
Değişme Özelliği
Her a, b ∈ R için a + b = b + a dir. Bu özelliğe toplama işleminin değişme özelliği denir.
Örnek:
2 + 6 = 6 + 2
8 = 8 dir.
Birleşme Özelliği
Her a, b, c ∈ R için a . (b . c) = (a . b) . c dir. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.
Örnek:
2 . (6 . 9) = (2 . 6) . 9
2 . 54 = 12 . 9
108 = 108 dir.
Etkisiz Eleman Özelliği
Her a ∈ R için a + 0 = 0 + a = a olduğundan “0” toplama işleminin etkisiz (birim) elemanıdır.
Örnek:
6 + 0 = 0 + 6 = 6 tür.
Ters Eleman Özelliği
Her a ∈ R için a + (-a) = (-a) + a = 0 olduğundan a nın toplama işlemine göre tersi –a dır.
Örnek:
6 + (-6) = (-6) + 6 = 0 dır.
Ayrıca bkz: Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, Reel Sayılar

Gerçek Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri
Gerek sayılar kümesinde çarpma işlemi yapılırken 7 kuraldan ya da özellikten bahsedebiliriz. Bu 7 özellik şunlardır;
- Kapalılık Özelliği
- Değişme Özelliği
- Birleşme Özelliği
- Etkisiz Eleman Özelliği
- Ters Eleman Özelliği
- Yutan Eleman Özelliği
- Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği
Kapalılık Özelliği
Her a, b ∈ R için a . b ∈ R dir. Bu özelliğe çarpma işleminin kapalılık özelliği denir.
2 ve 6 gerçek sayılardır ve bu iki sayının çarpımının sonucu 2 . 6 = 12 de bir gerçek sayıdır.
Değişme Özelliği
Her a, b ∈ R için a . b = b . a dir. Bu özelliğe çarpma işleminin değişme özelliği denir.
Örnek:
2 . 6 = 6 . 2
12 = 12 dir.
Birleşme Özelliği
Her a, b, c ∈ R için a . (b . c) = (a . b) . c dir. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.
Örnek:
2 . (6 . 9) = (2 . 6) . 9
2 . 54 = 12 . 9
108 = 108 dir.
Etkisiz Eleman Özelliği
Her a ∈ R için a . 1 = 1 . a = a olduğundan “1” sayısı çapma işleminin etkisiz (birim) elemanıdır.
Örnek:
6 . 1 = 1 . 6 = 6 dır.
Ters Eleman Özelliği
Her a ∈ R ve a ≠ 0 için a . 1/a = 1/a . a = 1 olduğundan a nın çapma işlemine göre tersi 1/a dır.
Örnek:
6 . 1/6 = 1/6 . 6 = 1 dir.
0 sayısının çarpma işlemine göre tersi yoktur.
Yutan Eleman Özelliği
Her a ∈ R için a ∙ 0 = 0 ∙ a = 0 olduğundan çarpma işleminin yutan elemanı “0” dır.
Örnek:
6 ∙ 0 = 0 ∙ 6 = 0 dır.
Yutan elemanın tersinin yoktur.
Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği
Her a, b, c ∈ R için a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c ve (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c olur. Bu özelliğe çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği denir.
Örnek:
3 ∙ (4 + 5) = 3 ∙ 4 + 3 ∙ 5
3 ∙ 9 = 12 + 15
27 = 27 dir.
(3 + 4) ∙ 5 = 3 ∙ 5 + 4 ∙ 5
7 ∙ 5 = 15 + 20
35 = 35 tir.
Gerçek sayılar kümesinin elemanlarıyla gösterilen her sıralı ikili, Kartezyen koordinat sisteminde bir noktaya karşılık gelir. Koordinat sistemi birbirine dik iki gerçek sayı doğrusunun sıfır noktasında kesişmesi ile elde edilmiştir.