Kesişim ve Birleşim Kümesi – Kümelerde Kesişim ve Birleşim Özellikleri

Kesişim Kümesi Nedir?

Kesişim Kümesi: Herhangi iki kümenin bütün ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir.
Kesişim Kümesi Sembolü: Kesişim ” ∩ ”sembolü ile gösterilir. A ve B kümesinin kesişimi A ∩ B ile gösterilir.
NOT: ø ∩ ø = ø

A ve B kümelerinin kesişim kümesi, ortak özellik yöntemi ile gösterilecek olursa;
A ∩ B = {x | x ∈ A ve x ∈ B} şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin kesişim kümesi, Venn şeması ile göstermek gerekirse;

Birleşim Kümesi Nedir?

Birleşim Kümesi: Herhangi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye, o iki kümenin birleşim kümesi denir.
Birleşim Kümesi Sembolü: Birleşim işlemi ∪ sembolü ile gösterilir. A ve B kümesinin birleşimi A ∪ B ile ifade edilir.
NOT: ø ∪ ø = ø

Birleşim kümesi ortak özellik yöntemi ile göstermek gerekirse;
A ∪ B = {x | x ∈ A veya x ∈ B} şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin birleşim kümesini Venn şeması ile göstermek gerekirse;

Ayrıca bkz: Kümeler Konu Anlatımı

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemi Özellikleri

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinde yedi farklı özellikten faydalanacağız. Bu özellikleri tek te açıklayalım.

1. Tek kuvvet özelliği

Kesişim işleminin tek kuvvet özelliği: Bir kümenin kendisi ile kesişimi yine kendisidir. Buna kesişim işleminin tek kuvvet özelliği denir.
A ∩ A = A dır.
İspatı:  A ∩ A = {x | x ∈ A ve x ∈ A} = A olarak gösterilir.

Birleşim işleminin tek kuvvet özelliği: Bir kümenin kendisi ile birleşimi yine kendisidir. Buna birleşim işleminin tek kuvvet özelliği denir.
A ∪ A = A dır.
İspatı:  A ∪ A = {x | x ∈ A veya x ∈ A} = A olarak gösterilir.

2. Değişme özelliği

Kesişim işleminin değişme özelliği:
A ∩ B = B ∩ A dır. Bu özelliğe kesişim işleminin değişme özelliği denir.
İspatı: A ∩ B = {x | x ∈ A ve x ∈ B} = {x | x ∈ B ve x ∈ A} = B ∩ A olarak gösterilir.

Birleşim işleminin değişme özelliği:
A ∪ B = B ∪ A dır. Bu özelliğe birleşim işleminin değişme özelliği denir.
İspatı: A ∪ B = {x | x ∈ A veya x ∈ B} = {x | x ∈ B veya x ∈ A} = B ∪ A olarak gösterilir.

3. Boş küme ile kesişim ve birleşim:
A ∩ ø = ø dir. A kümesinin boş küme ile kesişimi yine boş kümedir. Çünkü boş kümede eleman bulunmaz.
A ∪ ø = A dır. A kümesinin boş küme ile birleşimi yine A kümesidir. Çünkü boş kümenin A kümesine eklenecek elemanı yoktur.

4. Alt küme özelliği:

A ⊆ B ise A ∩ B = A dır. A kümesindeki her eleman aynı zamanda B kümesinde
de vardır. Dolayısıyla A ve B kümesinin kesişimleri A kümesidir.

A ⊆ B ise A ∪ B = B dir. A kümesindeki her eleman aynı zamanda B kümesinde de vardır. Dolayısıyla A ve B kümesinin birleşimleri B kümesidir.

5. Birleşme özelliği

Kesişim işleminin birleşme özelliği
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dir.

Birleşim işleminin birleşme özelliği
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C dir.

6. Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği:

Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine soldan dağılma özelliği
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

7. Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği:

Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine soldan dağılma özelliği
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Kesişim ve Birleşim Kümesi Örnekleri

ÖRNEK 1:

s(A) = 2 . s(B) ,
s (A ∪ B) = 18 ve
s(A ∩ B) = 5 ise s(A) yı bulunuz.

ÇÖZÜM 1:

s(B) = x olursa s(A) = 2x olacaktır. Bu durumda;

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
16 = 2x + x – 5
16+5 = 2x+x
21 = 3x
x = 7 dir.

S(A) = 2 . x = 2.7 = 14 olur.

ÖRNEK 2:

A= {1, 2, 3, 4, 5, 8} ,
B = {3, 4, 5, 6, 7}
C = {4, 5, 7, 8, 9, 10}
A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C ve A ∪ B ∪ C kümelerini Venn şeması ile gösteriniz.

ÇÖZÜM 2:

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İle İlgili Sorular

Bu konuda öğrendiklerimizi sorularla pekiştirelim. Aşağıdaki sorulara cevap verebiliyorsanız, konuyu anlamışsınız demektir.

1. Kesişim kümesi nedir? Sembolü nedir?
2. Kesişim kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz?
3. Birleşim kümesi nedir? Sembolü nedir?
4. Birleşim kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz?
5. Kümelerde kesişim ve birleşim işleminin özellikleri nelerdir?