Kümelerde Fark İşlemi
İki Kümenin Farkı: Herhangi iki küme olan A ve B kümesinden A kümesinde olup B kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı denir.
Küme Farkı Sembolü: Herhangi iki küme olan A ve B kümesinden A kümesinin B kümesinden farkı A − B veya A \ B ile gösterilir.
Ortak özellik yöntemi ile A \ B ve B \ A kümesini gösterelim;
A \ B = {x| x ∈ A ve x ∉ B}
B \ A = {x| x ∈ B ve x ∉ A}
Venn şeması ile A \ B ve B \ A kümesini gösterelim;
Ayrıca bkz: Kümeler Konu Anlatımı
Kümelerde Fark İşleminin Özellikleri
E evrensel kümesine ait A ve B kümeleri için;
1. A ≠ B iken A \ B ≠ B \ A dır. Fark işleminin değişme özelliği yoktur.
2. A \ A = Ø dir. Bir kümenin kendisinde farkı boş kümedir. Bir kümeden farkı alınırsa elde edilen kümenin elemanı kalmaz.
3. A \ E = Ø dir. A kümesinin E evrensel kümesinden farkı alınırsa sonuç boş küme olur. Çünkü Evrensel kümenin elemanları içinde A kümesinin elemanları da bulunur.
4. A \ Ø = A dır. Boş kümenin elemanı yoktur. Dolayısı ile A kümesinin boş kümeden farkı yine A kümesidir.
Ekstra Bilgi
A ∩ B = Ø ise A ve B kümelerine “ayrık kümeler” denir.
A ve B ayrık kümeler ise A \ B = A ve B \ A = B dir.
Kümelerde Fark İşlemi Örnekleri
Konuyu daha iyi anlamanız için bir kaç örnek verelim.
ÖRNEK 1:
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5} kümeleri veriliyor.
a) Verilen kümeleri Venn şeması ile gösteriniz.
b) (A ∪ B) \ (A ∩ B) kümesini bulunuz.
c) E \ (A ∪ B) kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM 1:
a)
b)
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B = {3, 4}
A ∪ B \ A ∩ B = {1, 2, 5}
c)
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1,2,3,4,5}
E \ (A ∪ B) = {6, 7} dir.
ÖRNEK 2:
A ve B kümeleri için
s(A \ B) = s(B \ A) + 8
s(A ∩ B) = 7
s(A ∪ B) = 37 ise
B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
ÇÖZÜM 2:
s(B \ A) = x denilirse s(A \ B) = x + 8 dir.
Bu bilgiler ışığında ve şeması ile yukarıdaki çizim yapılabilir.
s(A ∪ B) = x + 8 + 7 + x
37 = 2x + 15
37 – 15 = 2x
22 = 2x
11 = x olur.
Bu durumda s(B) = 7 + x = 7 +11 = 18 dir.
Bir Kümenin Tümleyeni
E evrensel kümesine ait bir A kümesi için A kümesinde bulunmayıp E kümesinde bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni adı verilir. A‘ veya Ā ile gösterilir.
Ortak özellik yöntemi ile göstermek gerekirse;
A‘ = Al = {x| x ∉ A ve x ∈ E} olarak ifade edilir.
Özellikleri:
Kural 1:
A \ B = A ∩ B‘
B \ A = B ∩ A‘
Kural 2:
De Morgan Kuralları:
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Kümelerde Fark ve Tümleyen İşlemleri İle İlgili Sorular
1. Kümelerde fark nedir? Sembolü nedir?
2. Kümelerde fark işlemi özellikleri nelerdir?
3. Ayrık kümeler nedir?
4. Bir kümenin tümleyeni nedir? Sembolü nedir?
5. Bir kümenin tümleyeni özellikleri nelerdir?